معادله شبه Wannier براي حالتهاي حفره‌اي روزنانسی بلورهاي فوتونیک مختلف شده به صورت موضعي(محلی)

در مقايسه با معادله Wannier در مورد حالتهاي ناخالصي الكترونيكي تعيين موقعيت شده در مواد بلوري، يك معادله موجي براي پوششي عيبهاي موضعي حالتهاي نوري رزنانس در سازه‌هاي ضدبرق استنباط مي‌شود. در مورد كاهش (زوال) نهايي ماهواره، اين مورد در مجموعه‌اي از معادلات شبيه Wannier جفت براي يك سيستم چند پوششي تعميم داده شده است. پس از راه حلهاي پوششي Wannier (تعيين موقعيت شده) در ايجاد رابطه با يك گروه آناليزي مشابه تئوريكي جهت تعيين شكل تقريبي براي حالتهاي دهنده و گيرنده در يك بلور فرتوني شش گوشه استفاده مي‌شود. به خاطر وجود يك پتانسيل يكنواخت موثر به وسيله تغيير پر كردن قسمتهاي مشبك تشكيل مي‌شود، حالتهاي روزنانسي به وضوح با استفاده از معادله wannier و آناليز مشابه محاسبه مي‌شوند و يك مقايسه براي تصحيح عددي حالتهاي محاسبه شده بيان مي‌شود.

I. مقدمه

آغاز اين فرآيند با ارائه نخستين طرح در مورد كنترل انتشار خود به خود با استفاده از مواد روزنه باندي فوتوني سه بعدي توسط Yablono Vitch در 1987 بوده در اين زمان بود كه به اين مورد توجه زيادي مي‌شد و تحقيقات زيادي در مورد آن انجام مي‌يافت.

اين مورد بررسي سازه‌هاي متاليكي و ضدبرق تقابلي چند دوره براي تجزيه نور، هدايت و تعيين موقعيت نورد در كاربردهاي اپتوالكترونيك (تكنولوژي مربوط به مجتمع‌سازي دانش نور و الكترونيك) اعمال شد. يك ژئومتري خاص براي تمام كاربردها، ژئومتري سازه‌هاي موج بر صفحه‌اي (PC) بلوري فوتوني دوبعدي دو وجهي كه انتشارات فابر يكي ذرات در آن بر خلاف فضاي شكاف باند فوتوني قابل دسترسي متعادل مي‌شوند، مي‌باشد. در تمام سازه‌ها، از اصلاحات موضعي مشبك فوتوني براي تشكيل ليزرهاي به اندازة نانو، فيلترهاي (زوج و فرد) و سيستمهاي موج بر حفره‌اي استفاده شده است. اغلب سازه‌هاي PC دو بعدي دود جمعي براي نوسازي، با استفاده از روشهاي عددي مثل روش ميدان- زمان محدود متفاوت (FDTD) آناليز شده‌اند. اين روشها و فركانسها در فراهم آوردن پروفيلها و فركانسهاي ميداني دقيق، كاملاً مفيد مي‌باشند، اما در اغلب قسمتها در طراحي دستگاه مفيد و انگيزه طراحي جديد كاملاً ناكارآمد مي‌باشند. اميد مي‌رود يك الگوي تقريبي از خصوصيات بلورهاي فوتوني غيريكسان ارائه شود كه از لحاظ شفافيت بيشتر به مشبكهاي ضدبرق و سازه‌هاي باندي آن بستگي دارد. اين كار توسط Russell و Birks انجام داده شده است كه مشابه با تحقيق انجام يافته در مورد ديناميكهاي الكتروني Bloch مي‌باشد. اين افراد يك تصوير نيمه كلاسيك از نورهاي تشعشعي در بلورهاي فوتوني غيريكسان ارائه دادند تا انتشار پوششي (تشعشع) نور را بررسي كنند.

در اين راستا، از سازة باند موضعي براي به دست آوردن يك تغيير دهندة فضايي هميلتني استفاده مي‌شود و ارزيابي پوشش نوري در فضاي واقعي و معكوس توسط معادلات هميلتن انجام داده مي‌شود در معادلات هميلتن نيروي جنبشي (اندازة حركتي) مزدوج براي مختصات فضايي به عنوان اندازه حركتي (نيروي جنبشي) بلوري k در نظر گرفته مي‌شود. از اين روش در توضيح يك روش ظريف و شهودي از خصوصيات شبكه هاي تاري (فيبري) Bragg، دستگاههاي چندسهمي طول موجي بر مبناي PC و 2D و مسيرهاي مداري بسته شده استفاده شده است. در يك حركت سيستماتيك برمبناي روش چندبعدي، كه توسط sipe و de sterke ارائه داده شده است، يك فرضيه دو حالتي براي سازه‌هاي مشبك و غيريكسان قوي ايجاد مي‌شود. سپس محققان از اين معادلات دو وضعيتي براي توضيح يك رساناي موثر استفاده مي‌كنند كه در آن ميدانهاي مؤثر و كارآمد دامنه‌هاي موجهاي Bloch بلور فوتوني و نواحي تصويري ضريب شكست به شكاف باند موضعي مشبك غيريكسان نسبت داده مي‌شود. در اين مقاله، در مقايسه با بررسي حالتهاي ناخالص موقعيت دار الكترونها در بلورهاي دوره‌اي، ما به دنبال توسعه يك معادله مشابه با معادله ی Wannier جهت توضيح پوشش اختلالات موضعي حالتهاي رزونانس در سازه‌هاي ضدبرق دوره‌اي مي‌باشيم. اين كار قبلاً در يك محيط محدود توسط Johnson و اخيراً در يك روش كلي‌تر توسط Charbonnean-L و Istrate در بررسي غير‌سازه‌هاي بلوري فوتوني انجام داده شده است. در اين تحقيقات، يك معادله موجي براي حالتهاي مشخص بلورهاي فوتوني غيريكساني با استفاده از يك حدود پوششي ارائه شده است، با اين وجود در هر مورد معادله پوششي به عنوان معادله مقدار مشخص هر ميتين با عبارت ميدان الكتريكي ايجاد مي‌شود و لازم به ذكر است كه حالتهاي داراي موقعيت كه از بي‌نهايت ماهواره‌اي غيركاهشي ايجاد مي‌شود فقط مورد بررسي قرار داده شده بود. در آناليز بيان شده، در اين قسمت، ما ميداني مغناطيسي را مورد بررسي قرار مي‌دهيم و ii اوجها يا شيارهاي منحط مدار k را در سازة باند يكي مي‌سازيم و يك مجموعه از معادلات شبيه Wannier جفت را كه سيستم چند پوششي را توضيح مي‌دهد به وجود مي‌آوريم. اين به ما امكان مي‌دهد تا با سهولت بيشتري فرمول‌بندي پوششي را براي حالتهاي حفره‌اي رزونانس موج‌برهاي صفحه‌اي PC كه در آن يك بلور 2 يا سه بعدي با حالتهاي Bloch در نزديكي بي‌نهايت ماهواره‌اي منحط مدار K تركيب مي‌شود، به كار گيريم. ما همچنين بروي ميدان مغناطيسي تمركز داريم چون آن مي‌تواند تا حدودي به عنوان يك اسكالر (عدد) براي حالتهاي قطبي شدن شبيه T_T صفحات PC تحت تأثير واقع شود و از لحاظ تكنيكي يك سيستم مهم داراي روزنه باند بزرگ قابل دسترسي براي حالتهاي اين نوع قطبي شدن در اتصال با شبكه‌هاي ضد برق مي‌باشد. از شكل و تقارن (شباهت) پوشش حالت روزنانس موقعيت‌دار و رابطة آن با سازة باند فوتوني مسئول، احتمال بهترين خصوصيات حفره‌هاي رزونانسي PC دو وجهي دوبعدي مثل همسطحي و انتشار عمودي، جفت سازي موج‌بري همنواگ و عامل كيفيتي حالتهاي روزنانس طراحي مي‌شوند. به علاوه، معادلة شبيه Wannier براي حالتهاي نقص تعيين موضع شده با وضوح بيشتر و شديدتر به انحناء سازة باند جهت تشكيل حالتهاي دهنده و گيرنده براي انواع مختلفي از اختلاف يك شبكه، ضدبرق ارتباط دارد. اين مقاله از بخشهايي به شرح زير تشكيل مي‌شود. در بخش II، ما مجموعه‌اي از معادلات شبيه Wannier جفت براي كاربردهاي پوششي حالتهاي شبيه TE موقعيت‌دار در سازه‌هاي PC دوبعدي دو وجهي استنباط مي‌كنيم كه همانگونه كه در فرضيه Wannier پيش‌بيني شد، سازه ی باند مسئول سازة ضدبرق دوره‌اي باعث به وجود آمدن يك تانسور جرمي كارآمد مي‌شود. به علاوه يك شكل تقريبي براي پتانسيل مؤثر در معادلة پوششي Wannier را در انواع اختلالات موضعي براي مشبك ضد برق را استنباط مي‌كنيم. در بخش 3 ما يك مبناي متقارن تقريبي را در مورد حالتهاي Blocn شبيه TE در حاشية باند رسانايي و والانس نخستين مرتبة شكاف باند در يك بلور فوتوني دوبعدي كه متشكل از يك پيكان (فلش) شش گوشه از چالهاي هوايي مي‌باشد، محاسبه مي‌كنيم. از روي اين مبناي متقارن ما روابط تقريبي را در ورد تانسور جرمي مؤثر معادله Wannier و ارتباط با يك آناليز به كار رفته براي تعيين تركيب بين بي نهايت ماهواره‌اي منحط را استنباط مي‌كنيم. ما يك شكل تقريبي را براي حالتهاي دهنده و گيرنده موقعيت‌دار يك مشبك شش گوشه را با پر كردن شكست درجه‌دار را به دست مي‌آوريم. براي مقايسه، محاسبات عددي با استفاده از FDTD حالتهاي گيرنده و دهندة هر حفرة ناقص نيز بيان مي‌شوند.

II قضیه Wannier برای فوتون ها در ساختارهای دی الکتریک پریودی: در بررسي حالتهاي الكترونيكي تعيين موضع شده همراه با ناخالصيها در يك مادة بلوري، اغلب تغيير معادلة Schrodingen به فضاي Fourier ، ساده كردن مجموعة معادلات جفت (زوج) از طريق تجزيه محدود (fourier) پتانسيل مختلف كننده و سپس برگرداندن مختصات فضاي واقعي در آن يك معادلة موجي براي پوشش حالتهاي موضع‌دار به وجود مي‌آيد، كمك كننده مي‌باشد. فرضيه Wannier ماهيت اين روش را در استفاده از انتشار نيروي جنبشي بوجود آمده توسط پتانسيل coulombic دوره‌اي كريستال در يك فرضيه ناصاف زبرديناميكهاي الكتروني را به طور كامل به اختيار درمي‌آورد. يك كاربرد فرضيه Wannier در محاسبة حالتهاي الكترونيكي باند ناخالصيهاي بلوري مي‌باشد. شكل مبناي معادله Wannier براي پوشش‌دهي حالتهاي ناخالص به ترتيب رابطة 1 مي‌باشد.

در اين رابطه ارتباط انتشار نيروي جنبشي باند انرژي nام q با بردار موجي k مي‌باشد كه بر اپراتور انرژي جنبشي متعارفي مي‌شود. پتانسيل ناخالص مي‌باشد و تابع پوششي توضيح دهندة حالت الكترونيكي موقعيت‌دار مي‌باشد. ما تمايل به پيدا كردن معادله شبيه معادلة Wannier جهت پوشش‌دهي حالتهاي فوتوني موضع‌دار در شبكه‌هاي ضدبرق دوره‌اي داريم. از فوايد خاص اين كار حالتهاي روزنانسي موقعيت‌دار P_cs دوبعدي دووجهي تشكيل شده در صفحات ضدبرق نازك مي‌باشند. حالتهاي شبيه IE زيربناي فرد و حالتهاي زوج شبيه TM يك دوبعدي متقارن كه موج بر صفحه ضدبرق را طراحي كرد مي‌تواند از طريق ميدانهاي اسكالر حدودبندي شود. در آنچه كه پيش مي‌آيد ما بر حالتهاي شبيه IE متمركز مي‌شويم چون آن براي حالتهايي است كه يك شكاف باند فركانس ناچيز را در مورد مشبكهاي ضدبرق متصل شده مثل آنهايي كه براي تشكيل حفره‌هاي ليزري و موج‌برهاي نوري استفاده شدند، باز مي‌كند. براي حالتهاي فرد شبيه TE، ميدان مغناطيسي مي‌تواند به وسيله جزء نرمال z آن براي سطح تخته تقريب‌بندي مي‌شود. اين مورد مسئله ا به يك فرضيه ميدان اسكالر مؤثر تبديل مي‌كند كه در آن با مختصات موجود در سطح افقي صفحه نشان داده مي‌شود. معادله مقدار مشخصة ميدان اسكالر براي ميدان مغناطيسي موجود در حد 2 بعدي مشابه به شكل فرمول 2 مي‌باشد.

در اين فرمول مي‌باشد و فركانس زاويه‌اي مالت ناقص مي‌باشد، c سرعت نور در خلاء مي‌باشد و رابطه 3 به وجود مي‌آيد.

توسط معكوس مجذور ضريب شكست مجدد بلور فوتوني مختل شده تعيين مي‌شود، و اختلال موقعيت دار نسبت به را نشان مي‌دهد. مقدار مشخصة L_H مي‌تواند به يك بخش بلوري فوتوني مختل شده و يك بخش مختلف شده به خاطر نقص تقسيم مي‌شود. حالتهاي(تقریبی 2 بعدی) كريستال كامل حالتهاي معمولی انرژي مي‌باشند.

در رابطة (4) I ضريب باند و K نيروي حركتي (جنبشي) بلور مسطح را نشان مي‌دهند. چون H_1,k امواج Bloch مي‌باشند. آنها مي‌توانند به ترتيب رابطة 5 نوشته مي‌شوند